▶ 10 Casos de Factorizacion ALGEBRA LINEAL, Ejercicios resueltos paso a paso.

10 Casos de factorización: 

1. Factor Común.
2. Agrupación por términos semejantes.
3. Trinomio Cuadrado perfecto.
4. Diferencia de Cuadrados perfecto.
5. Trinomio adición y sustracción.
6. Factorización de  la forma x²+bx+c.
7. Factorización de la forma  ax²+bx+c.
8. Cubo perfecto de binomio.
9. Suma o diferencia de cubos perfectos. AGRUPACION
10. Suma o diferencia.
11. Caso especial Suma de cuadrados.

1.   FACTOR COMUN.

Hoy vamos a ver el 1er caso de factorización que se llama factor común, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1:               

    a²+bcEjercicio 1.

En este ejercicio vamos a determinar el factor común, cuál de las letras se nos repite aquí. Como podemos observar la que se nos repite es la letra (a) pero en este caso vamos a tomar la que tiene menor exponente. Donde obtenemos:

a(a²/ + ab)

Luego hacemos la división de potencia de igual base, donde sabemos que restamos los exponentes y luego dividimos los términos de igual exponente. Donde obtenemos:

a(+b)

Ejercicio 2.

15y³ + 20 y² - 5y

En esta expresión debemos sacar el máximo común divisor de los números (coeficientes). Hacemos la descomposición de cada uno de ellos.

15= 3.5.1

20= 22.5.1

5= 5.1

En este paso vamos a determinar el máximo común divisor (M.C.D): número común de menor exponente, observamos que el que se repite en todas las descomposiciones es el (5), ya teniendo este colocamos este número junto a la letra que se repita con menor exponente y el resto del ejercicio como lo observamos a continuación.

5y(15y³ + 20 y² /5y - 5y)

En este paso desarrollamos las divisiones y obtenemos el resultado.

5y (3y²  + 4y - 1)

Ejercicio 3.

2x (n-1) – 3y (n-1)

En este paso vamos a ubicar el término que más se repite por lo tanto tenemos que es (n-1) y desarrollamos.

(n-1) (2x – 3y)

Simplificamos y obtenemos el resultado.

(n – 1)(2x – 3y).

Ejercicio 4.

a(n + 2) + (n + 2)

En este paso vamos a ubicar el término que más se repite por lo tanto tenemos que es (n+2) y desarrollamos.

(n + 2)(a(n+2)/n+2)  + (n+2/n+2)

Simplificamos y obtenemos el resultado.

(n + 2)(a + 1).

2 . AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.

Hoy vamos a ver el 2do caso de factorización que se llama agrupación de términos semejantes, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

a²+ ab +ax + bx

Aquí para agrupar los términos semejantes vamos agrupar los términos que sean comunes utilizando la propiedad asociativa y sus paréntesis. Donde obtenemos.

(a² + ax) + (ab + bx)

Luego se aplica el factor común, la letra que se repite dentro del paréntesis y tomamos la letra con menor exponente. Donde obtenemos:

a (a²/a + ab/a) + b ( ab/b+ bx/b)

En este paso desarrollamos las divisiones.

a (a + x) + b(a + x)

Como podemos observar tenemos términos repetidos por lo tanto agrupamos de la siguiente forma.

(a + x) (a+b)

Simplificamos y obtenemos el resultado.

 (a + x) (a + b)

Ejercicio 2.

4am³-12amn-m²+3n

Aquí para agrupar los términos semejantes vamos agrupar los términos que sean comunes utilizando la propiedad asociativa y sus paréntesis. Donde obtenemos.

 (4am³ – m²) + (3n – 12amn)

En este paso vamos a ubicar el término que más se repite por lo tanto tenemos que es (m²) para el primer grupo y (n) para el segundo grupo desarrollamos.

 m² (4am³ /m² – m²/m²) + 3n( 3n/3n – 12amn/3n) 

En este paso desarrollamos las divisiones.

 m²(4am – 1) + 3n(1 – 4am)

Si observamos que los términos que están entre paréntesis son iguales pero tiene diferentes signos, para lo cual sacamos un signo negativo fuera para igualar las expresiones y obtenemos.

 m²(4am – 1) – 3n(4am – 1)

Como ahora los términos si son iguales aplicamos el factor común.

(4am – 1)(m²-3n) 

Simplificamos y obtenemos el resultado.

(4am – 1)(m² – 3n)

Ejercicio 3.

(20ax – 5bx) (-2by + 8ay)

En este paso vamos a ubicar el término que más se repite por lo tanto tenemos que es (x) y (y) sacamos el factor común y el máximo común divisor (M.C.D) entre 20 y 5 obteniendo el número 5 en un término y 2 en el otro. Desarrollamos.

5x(20ax/5x -5bx/5x)+2y(-2by +

En este paso desarrollamos las divisiones.

5x(4a – b) + 2y(-b + 4a)

Como ahora los términos si son iguales aplicamos el factor común.

(4a – b)(5x+2y)

Simplificamos y obtenemos el resultado.

(4a – b)(5x + 2y).

3 . TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

El tercer caso de factorización que se llama trinomio cuadrado perfecto, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

a²– 2ab + b²

Para resolver este ejercicio debemos sacar la raíz cuadrada al primer y tercer término, tomando en cuenta que el tercer término debe ser totalmente diferente al primero y el intermedio. Como ambos términos están elevados al cuadrado (²) y es trinomio cuadrado perfecto es lo opuesto del producto notable del cuadrado de la diferencia. Recordemos que es cuadrado de la diferencia seria, el cuadrado del primer término menos doble por el primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Donde obtenemos.

(a – b)² = a^2  – 2ab + b²

Desarrollamos el ejercicio y nos resulta.

(a – b)²

Ejercicio 2.

36 + 12m² + m⁴

Lo primero que se debe hacer es identificar el primer y segundo término, que serían el primero es el 36 y el segundo m⁴ y son totalmente diferentes luego sacamos las raíces cuadradas de cada uno de ellos. Donde se obtiene.

(6 + m²)²

Ya teniendo este resultado y resolvemos este producto notable, nos quedaría el cuadrado del primer término más el doble por el primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Donde obtenemos

(6 + m²)² 

6² + 2 * (6)*(m²)+(m²)² 

36 + 12m² + m4

 Ejercicio  3.

 a²/4– ab + b²

Primeramente identificamos el primer y segundo término luego sacamos la raíz cuadrada del primer término. Desarrollamos.

(a/2 – b)

Ya teniendo este resultado y resolvemos este producto notable, nos quedaría el cuadrado del primer término más el doble por el primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término. Donde se obtiene

Nota:

Una clave para resolver este 3er caso de trinomio cuadrado perfecto debemos estar claro de producto notable. Aquí les dejo su enunciado.

Cuadrado de la Suma.

Cuadrado del primer término más el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a+b)² = a² + 2*a*b + b²

Cuadrado de la Diferencia.

Cuadrado del primer término menos el doble del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

(a-b)² = a² – 2*a*b + b²

Es válido acotar para estos productos notables se debe contar con el conocimiento para hacer más fácil la resolución del tercer caso de trinomio cuadrado perfecto, ya que este es el inverso de lo expuesto en las notas anteriores. 

4 . DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO.

El Cuarto caso de factorización que se llama diferencia de cuadrado perfecto, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

X² – Y²

Esta forma para factorizar es con la siguiente regla. Primero identificar los términos, nos dice que primer término al cuadrado menos segundo término al cuadrado va ser igual al factorizar a abrimos paréntesis primer término mas segundo término cerramos paréntesis mutiplicado por la misma expresión, pero de signo contrario. A este resultado le aplicamos la propiedad distributiva. Donde se obtiene

a – b² = (a + b) * (a – b) = a² – ab + ba – b² = (a² – b²)

Desarrollamos el ejercicio y nos resulta.

X² – Y² = (X – Y) * (X + Y)

Ejercicio 2.

4a² – 9

Lo primero que debemos hacer es identificar el primer y segundo término, que serían el primero es el 2a y el segundo 3 y son totalmente diferentes luego sacamos las raíces cuadradas de cada uno de ellos. Donde obtenemos.

(2a – 3) * (2a + 3)

Ejercicio 3.

(1/4 – a²/25)

Primeramente identificamos el primer y segundo término luego sacamos la raíz cuadrada del primer término. Desarrollemos.

 ( 1/2 – a/5 )* (1/2 + a/5 )

Ejercicio 4.

25x²y⁴– 121

Se identifica  el primer y segundo término, se saca  la raíz cuadrada del primer término. Desarrollemos.

 (5xy² + 11) * (5xy² – 11)

5 .TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

El quinto caso de factorización que se llama trinomio de cuadrado perfecto por adición y sustracción, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

a⁴  + a² + 1

Para resolver este ejercicio se identifica  el primer término y el segundo término posteriormente, se saca las raíces cuadradas a cada uno. Desarrollamos el producto notable que sería el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término. Donde se obtiene:

(a² + 1) = (a²)² + 2*a²*(1) + (1)²

Posteriormente aplicamos potencia de potencia donde multiplicamos los exponentes y desarrollamos el ejercicio de la siguiente manera.

(a²)²+ a² + 1

Ahora comparamos lo que obtuvimos con la que nos dieron inicialmente, debemos igualarla a la del producto notable desarrollado, donde podemos observar que nos faltaría un a² para lo cual se lo sumamos a la inicial de esta manera.

a4 + a² + 1+ a² = a⁴+ 2a² + 1

Ahora que le sumamos ese a² debemos restarlo y agruparlos tomando en cuenta que este es el mismo producto notable pero factorizado de la siguiente manera.

(a4 + 2a² + 1) – a² =  (a²+1)²-a²

En esta parte podemos aplicar la diferencia de cuadrados, donde la formula nos dice que:

a²- b² = (a – b)*(a + b)

Factorizamos y obtenemos el resultado.

(a² + a + 1)(a² – a + 1)

Ejercicio 2.

a⁴  – 3a²b² + b⁴

Lo primero que debemos hacer es identificar el primer y segundo término, que serían el primero es el a² y el segundo b⁴ y son totalmente diferentes luego sacamos las raíces cuadradas de cada uno de ellos. Donde obtenemos.

a² y b²

Como tenemos términos con signo diferente va ser el cuadrado de la diferencia que nos dice el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

(a² – b²)² = (a²)² – 2 * a² * b² + (b²)² a⁴  – 2a² * b² + b⁴

Ahora comparamos lo que obtuvimos con la que nos dieron inicialmente, debemos igualarla a la del producto notable desarrollado, donde podemos observar que nos faltaría un a²b² para lo cual se lo sumamos a la inicial de esta manera.

a⁴  – 3a²b² + b⁴+ a²b² = a⁴  – 2a²b² + b⁴

Ahora que le sumamos ese a² b² debemos restarlo y agruparlos tomando en cuenta que este es el mismo producto notable pero factorizado de la siguiente manera.

(a⁴  – 2a²b² + b4) – a²b² = (a²-b²)²- a²b²

En esta parte podemos aplicar la diferencia de cuadrados, donde la fórmula nos dice que:

a² – b² = (a – b)*(a + b)

Desarrollamos las raíces cuadradas.

(a² – b² – ab) *(a² + b² + ab)

Reordenando y obtenemos el resultado.

(a² – ab – b²) (a² + ab – b²). 

6 . FACTORIZACIÓN DE LA FORMA X²+BX+C.

Hoy vamos a ver el sexto caso de factorización de la forma x² + bx + c, vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

y² – 9y + 20

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando la variable de mayor grado el coeficiente debe tener número 1, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos números que multiplicados me resulte 20, y de esos mismos números que sumados o restado me den 9, colocamos los signos que utilicemos. Desarrollamos de la siguiente manera.

y² – 9y + 20 Búsqueda de numero 20 * 1 = 20

                                                      5 * 4 = 20

Factorizamos y el Resultado 10*2= 20

(y-5) (y-4) Comprobamos la veracidad. -5-4= -9    y 5*4 = 20

Ejercicio 2.

12 – 8n + n²

Lo primero que debemos hacer es identificar de mayor grado, que serían el n², seguidamente debemos ordenarlos de grado mayor a grado menor, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 12, y de esos mismos números que sumados o restado me den 8, colocamos los signos que utilicemos. Desarrollamos de la siguiente manera.

12 – 8n + n²

n² – 8n + 12 Búsqueda de numero (6)(2)= 12

                                                                         (3)(4)= 12

Factorizamos y el Resultado  (12)(1) = 12

(n-6) (n-2) Comprobamos la veracidad. -6-2= -8  y (6)(2) = 12

Ejercicio 3.

a² – 2a – 35

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando la variable de mayor grado el coeficiente debe tener número 1, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 35,  y de esos mismos números que sumados o restado me den 2, colocamos los signos que utilicemos iguales. Desarrollamos de la siguiente manera.

a² – 2a – 35 Búsqueda de número (7)( 5)= 35

                                                     (35)(1)= 35

Factorizamos y el Resultado

(a-7) (a+5) Comprobamos la veracidad.-7+5= -2  y (7)(5) = 35

Ejercicio 4.

n² – 6n – 40

Para resolver este ejercicio comenzamos identificando la variable de mayor grado el coeficiente debe tener número 1, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 40,  y de esos mismos números que sumados o restado me den 6, colocamos los signos que utilicemos iguales. Desarrollamos de la siguiente manera.

n² – 6n – 40 Búsqueda de numero (40) (1)= 40,   (8)(5)= 40

(4)( 10)= 40 y  (2) (20)= 40

Factorizamos y el Resultado

 (n+4) (n-10) Comprobamos la veracidad.-10+4=-6  y (10)(4) = 40. 

7 . FACTORIZACIÓN DE LA FORMA . AX²+BX+C.

Hoy vamos a ver el 7mo caso de factorización que se llama factorización de la forma AX²+BX+C., vamos realizar un primer ejercicio:

Ejercicio 1.

2x² + 3x – 2

Para resolver este ejercicio observamos que el coeficiente de x² que es 2 que para comenzar multiplicamos cada uno de los términos de la ecuación por 2, posteriormente la descomponemos en dos factores y buscamos dos números que multiplicados me resulte 4, luego esos mismos números que sumados o restado me den 3, colocamos los signos que utilicemos. Desarrollamos de la siguiente manera.

2x² + 3x – 2  = 2(2x²) + 2(3x) – 2(2)

4x² + 3(2x) – 4 Búsqueda de número (4)( 1)= 4 y (2)(2) = 4

Factorizamos y el Resultado

(2x+4) (2x-1) Comprobamos la veracidad. 4-1= 3  y (4)(1) = 4

Ahora tenemos que devolver la multiplicación del coeficiente (2) que realizamos anteriormente de la manera siguiente y obtenemos el resultado.

(2x+4) (2x-1) /2  = (x+2) (2x-1)

Teniendo como resultado de factorización de este trinomio.

(x+2) (2x-1)

Ejercicio 2.

3x² – 5x -2

Para resolver este ejercicio observamos que el coeficiente de x² es  (3) que para comenzar multiplicamos cada uno de los términos de la ecuación por 3, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 6, luego esos mismos números que sumados o restado me den 5, colocamos los signos que utilicemos iguales. Desarrollamos de la siguiente manera.

3x² – 5x – 2 9x² – 3(5x) – 6

9x² – 3(5x) – 6   Búsqueda de número (2)(3) = 6

                                                                                        (6)( 1)= 6

Factorizamos y el Resultado

(3x-6)(3x+1)Comprobamos la veracidad.-6+1= -5   

(6)(1) = 6

Ahora tenemos que devolver la multiplicación que realizamos anteriormente de la manera siguiente y obtenemos el resultado.

(3x-6)(3x +1)/2

Teniendo como resultado de factorización de este trinomio.

(x-2) (3x+1)

Ejercicio 3.

4a² + 15a + 9

Para resolver este ejercicio observamos que al inicio del tenemos una variable que es el número 9 que para comenzar multiplicamos cada término de la ecuación por 9, posteriormente la descomponemos en dos y buscamos dos número que multiplicados me resulte 36, luego esos mismos números que sumados o restado me den 5, colocamos los signos que utilicemos iguales. Desarrollamos de la siguiente manera.

4a² + 15ª + 9 16a² – 4(15a) + 36

16a²– 15(4a)+ 36  Búsqueda de números (4)(9)= 36    y

(18)(2)= 36

(36) (1)= 36  y (12)( 3)= 36)

Factorizamos y el Resultado

(4a+12)(4a+3)Comprobamos la veracidad.12+3= 15   𝑦  (12)(3) = 36

Ahora tenemos que devolver la multiplicación que realizamos anteriormente de la manera siguiente y obtenemos el resultado.

(4a+12) (4a+3)/4 =

Teniendo como resultado de factorización de este trinomio.

(a+3) (4a+3).

 8 . CUBO PERFECTO DE BINOMIO.

El octavo caso de factorización que se llama factorización cubo perfecto de binomio, vamos realizar un primer ejercicio:

Para factorizar este tipo de polinomio debemos conocer del producto notable del cubo de  la suma y de cubo de la diferencia.

El cubo de la suma nos dice, que el cubo del primer término más el triple de cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. Desarrollamos de la siguiente manera.

(a+b)³=a³+3a²*b+3a*b²+b³

El cubo de la diferencia nos dice, que el cubo del primer término menos el triple de cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

(a-b)³=a³-3a²*b+3a*b²-b³

Ejercicio 1.

a³ + 3a² +3a + 1

Para resolver este ejercicio primero identificamos el primer y segundo término, por lo cual tomamos como primer término el primero con exponente al cubo que sería a³ y como segundo el 1. Desarrollamos.

a³ + 3a² +3a + 1

(a + 1)³= a³ + 3a²*(1) + 3a * (1)² + (1)³

Comprobamos

a³ + 3a² +3a + 1

Resultado y factorización.

(a + 1)³

Ejercicio 2.

 8 + 12a² + 6a4 + a6

Para resolver este ejercicio primero identificamos el primer y segundo término, por lo cual tomamos como primer término el primero con exponente al cubo que seria 8 y como segundo el a⁶. Descomponemos los términos elegidos.

8 = 2³

En este caso con este resultado el exponente 3 lo dividimos entre 3 en el primer término y en el segundo término dividimos 6 ente 3.

2³/3= 21  y a^(6/3)=a²

Donde obtenemos.

(2+a³)

Desarrollamos

(2+a³)3=2³ + 3(2)²*(a²) + 3(2)*(a²)² + (a²)³

Comprobamos

8 + 12a² + 6a⁴  + a⁶

Resultado y factorización.

(2+a³)³

Ejercicio 3.

1 + 12a²b² – 6ab – 8a³b³

Para resolver este ejercicio primero identificamos el primer y segundo término, por lo cual tomamos como primer término el primero con exponente al cubo que seria 1 y como segundo el 8a³b³. A cada termino le sacamos la raíz cúbica , luego de sacar las raíces cubicas a cada término el primero será (1) y el segundo (2ab), como tenemos alternancia de signo determinamos que sería el cubo de la diferencia. Descomponemos los términos elegidos.

1 + 12a²b² – 6ab – 8a³b³

raíz cúbica de (1)= 1   y raíz cúbica de (23a3b3) = 2ab

Resultando.

(1 – 2ab)³

Si comprobamos esta factorización.

(1 – 2ab)³ = (1)³ – 3(1)² * (2ab) + 3(1) * (2ab)² – (2ab)³

Simplificamos.

1 – 6ab + 12a²b² – 8a³b³

El resultado de factorización

(1 – 2ab)³.

 9 . SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS. 

Para factorizar este tipo de binomio debemos conocer el siguiente cociente.

Cuando el binomio es con signos positivos esto va ser igual a:

(a³ + b³) = (a + b) * (a² – ab + b²)

También debemos considerar que existe otra forma que es la siguiente.

(a3-b3)/(a-b) = a2 + ab + b2  entonces

(a3 -b3) = (a-b)(a2 +ab +b2)

Ejercicio 1.

1 + a³

Desarrollamos según la primera forma de esta manera.

(1³ + a³) = (1 + a) * (1 – (a)(b) + a²)

(1 + a) * (1 – a + a²)

Resultando.

(1 + a) * (a² – a + 1)

Ejercicio 2.

m³ – n³

Desarrollamos según la segunda forma y aplicamos la propiedad de esta manera.

m³ – n³ = (m³ – n³) = (m – n)  (m² + (m) (n) + n²)

La factorización seria de esta manera.

(m – n)(m² + (m)(n) + n²)

Ejercicio 3.

x³ – 27

Primeramente, iniciamos descomponiendo el segundo término (27)

27 = 3³

Por lo tanto, el segundo término será 3³.

Desarrollamos.

(x³ – 27)

Que después de descomponer el segundo término nos resultaría así.

(x³ – 3³) = (x – 3)(x² + 3x + 3²)

Factorizamos y obtenemos el resultado.

(x – 3)(x² + 3x + 9). 

10 . SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES.   

Hoy vamos a ver el 10mo caso de factorización que se llama suma o diferencia de potencias iguales, vamos realizar un primer ejercicio:

Para resolver este tipo de factorización de potencias iguales de forma de binomio pueden ser de la diferencia o de la suma tenemos tenemos un conjunto de condiciones para resolver este tipo de factorización.

En los casos de aⁿ  – bⁿ

La primera condición me dice cuando yo tengo el numerador que es a – b es divisible, entre (a – b), cuando n es par o impar.

Ejemplo:

aⁿ  – bⁿ Es divisible entre (a – b) cuando n es par o impar o La segunda condición me dice cuando yo tengo el numerador a – b es divisible, cuando n es par.

Ejemplo:

aⁿ  – bⁿ Es divisible entre (a + b) cuando n es par.

En los casos aⁿ  + bⁿ

La primera condición nos dice que cuando yo tengo el numerador a + b es divisible, siendo n impar.

Ejemplo:

aⁿ  + bⁿ Es divisible entre (a + b) siendo n impar.

o

La segunda condición nos dice que nunca es divisible cunado sea (a – b)

Ejercicio 1.

a⁵  + 1⁵

Desarrollamos según la primera condición de esta manera.

= a4(1)0 – a3 (1)1 + a2 (1)2 – a1 (1)3 + a0 (1)4

Simplificamos.

(a4 – a3 + a2 – a + 1)

Factorizamos.

a⁵  + 15 = (a + 1) * (a⁴  – a³  + a²– a + 1)

Ejercicio 2.

Ejercicio 2.

a⁵  – 1

Desarrollamos según la segunda condición de esta manera.

= a4(1)0 + a3 (1)1 + a2 (1)2 – a1 (1)3 + a0 (1)4

Simplificamos

(a⁴  + a³  + a²  + a + 1)

Factorizamos.

a⁵  – 1 = (a – 1) (a⁴  + a³  + a²  + a + 1)

Resultando.

 (a – 1) * (a⁴  + a³  + a²+ a + 1)

Ejercicio 3.

32 – m⁵ 

Primeramente iniciamos descomponiendo en factores primos el primer término (32).

32 = m⁵

Por lo tanto el primer término será 2⁵.

Sustituimos y Desarrollamos.

= 24(m)0 + 23 (m)1 + 22 (m)2 + 21 (m)3 + 20 (m)4

Simplificamos

(16 + 8m + 4m²  + 2m³ + m⁴)

Factorizamos.

32 – m⁵  = (2 – m)  (16 + 8m + 4m²  + 2m³ + m⁴)

Resultando.

(2 – m)  (16 + 8m + 4m2 + 2m³ + m4).

CASO ESPECIAL DE FACTORIZACIÓN SUMA DE CUADRADOS.

Hoy vamos a ver el caso especial de factorización que se llama suma de cuadrados, vamos realizar un primer ejercicio:

Para resolver este tipo de factorización iniciamos identificando los términos primero y segundo, en este caso lo vamos a tomar como un producto notable al cuadrado de la suma ya que es una suma. Posterior mente le sacamos la raíz cuadra de cada término. Resolvamos unos ejercicios.

Ejercicio 1. 

 x⁴  + 64y⁴

Desarrollamos las raíces cuadras de los términos.

x² + 8y²

Desarrollamos aplicando la suma de cuadrados.

(x² + 8y²)2 = (x²)² + 2(x²) * (8y²) + (8y²)²

 Simplificamos.

x² + 16x²y² + 64y⁴

Como tenemos un término adicional en este término lo que hacemos es restarlo y como lo que tenemos es el cuadrado de la suma.

(x² + 16x²y² + 64y4) – (16x²y²)

Reescribimos.

(x² + 8y²)² – 16x²y²

Ahora aplicamos la regla de la diferencia de cuadrados perfectos. Que recordando seria así.

a² – b² = (a + b) * (a – b)

Desarrollamos sacamos raíz cuadrada de estos términos.

(x² + 8y²)² – 16x²y²

(x² + 8y²) y  (4xy)

Aplicamos la diferencia de cuadrados.

(x²+8y²)(x²-8y²)

Ejercicio 2.

64 + a¹²

Desarrollamos las raíces cuadradas de los términos (64) y (a¹²).

(8 + a⁶)

Desarrollamos este producto notable cuadrado de la suma.

(8 + a⁶) = (8)² + 2(8) * (a⁶) + (a⁶)² 

Simplificamos.

64 + 16a⁶  + a¹² 

Como tenemos un término adicional en este término lo que hacemos es restarlo y como lo que tenemos el cuadrado de la suma.

64 + 16a⁶  + a¹²  – 16a⁶

 Reescribimos.

(8 + a⁶) – 16

Ahora aplicamos la regla de la diferencia de cuadrados perfectos. Que recordando seria así.

a² – b² = (a + b) * (a – b)

Desarrollamos sacamos raíz cuadrada de estos términos.

(8 + a⁶)2 – 16a⁶